Jak wyrywać na imprezach laski? – Czyli krótka powiastka o nieznanch tajemnicach liczby e

Oj, ciężko się robi interesy z mym szwagrem, bardzo ciężko…

– Masz trochę kasy do zainwestowania? – pewnego dnia zaproponował. – Dawaj! Po roku za każdego tysiaka zwrócę dwa!

– Że ile? Dwa po roku? – niedowierzałem, – Ej! Szwagier – a może nie dwa, a trzy? – podbiłem wesoło stawkę, próbując zbadać, czy jego oferta, aby nie żart?

– Trzy chciałbyś? – No trochę dużo… – sparował. – Ale dobra. Zróbmy tak: ja pozostanę przy moich dwóch tysiakach za jeden, a odsetki skapitalizuję ci po pół roku.  Ile wtedy zarobisz? To proste: 2,25 (tysiączka od każdego tysiaka).  Ale wiesz co? Mogę ci nawet kapitalizować odsetki co kwartał. Zarobisz jeszcze lepiej: 2,4414. To jak, sztama stoi?

– Szwagier, – z przekąsem odrzekłem studząc szwagrowe zamiary, – ze mnie matematyk jak z fleta patyk, ale co swoje wiem: moje trzy to więcej niż twe dwa z kawałkiem.

– Trudny z ciebie partner, – zripostował. – Ale, ok.! Niechaj będzie tak: ja podtrzymam ofertę i po roku oddam ci dwa tysiaki z każdego twojego jednego, a ty – będziesz mógł określić samemu, jak często mam kapitalizować odsetki. Umowa stoi?

– To znaczy, nawet jeśli zaproponuję odsetki co miesiąc? – z niedowierzaniem spytałem

– Nawet co tydzień! – zabawnie zripostował.

– Ok.! Umowa stoi i poproszę odsetki doliczać każdego dnia! – zagrałem na koniec va bank.

– Pal cię licho. Zgoda!

„No, wreszcie przechytrzyłem szwagra” – naprędce podsłodziłem sobie w myślach. „Przecież to jasne: czym częściej naliczy odsetki, tym ich suma większa. Wszak przy półrocznym cyklu – zarabiam 250, przy kwartalnym – już ponad czterysta. Przy miesięcznym – to będzie ich pewno z tysiąc, a przy codziennym… Ech! Szwagier – obcyganię cię bez mydła!”

*

Tę dykteryjkę ze szwagrem, na szczęście, jedynie wymyśliłem dla celow dydaktycznych. Jak pewno się domyślacie, jej zakończenie nie byłoby dla mnie miłe. Szwagier, jak to i w życiu na ogół bywa ze szwagrami, jeśli ma głowę nie od parady zwykle z niej korzysta. Ten mój – też skorzystałby…

Policzmy na spokojnie, jaki byłby rezultat dla stopy zwrotu 100% i przy odsetkach naliczanych co miesiąc. (Ci, co nie są tędzy w rachunkach niech przyjmą na wiarę, pozostali – niech kalkulują samodzielnie): (1 + 1/12) do potęgi 12 = 2,613. (Ocho! znacznie mniej, niż przypuszczałem). Idźmy dalej: dla cotygodniowego naliczania: (1 +1/52) do potęgi 52 = 2,6926 (całkiem niewesoło!). A dla codziennego? Niewiarygodne, ledwie o ok. 0,02 więcej od poprzedniego!

No dobrze, a pójdźmy, jak mawia młodzież, po bandzie. A gdyby odsetki były kapitalizowane co godzinę, co minutę, ba! Nawet co sekundę… Jaki wtedy osiągnęlibyśmy wynik? Okazuje się… praktycznie taki sam, jak poprzednio, gdyż nawet dla nieskończonej ilości okresów naliczania odsetek – rezultat i tak nie przekroczy pewnej  „dziwnej”, stałej liczby. Otóż przy założeniu 100-procentowej stopy zwrotu kapitału kwota z odsetkami wyniesie (1 +1/n) do potęgi n (gdzie n – dowolna liczba, tu: dążąca do nieskończoności). Gdyby więc wstawić dowolnie wielkie „n” okaże się, że wartość tej tajemniczej liczby nie przekroczy 2,72. (Nie wierzysz? – A sprawdźże sobie sam!). Konkretnie: 2.718281828459045235360287… Chcesz dokładniej? A proszę bardzo: tutaj zapisano jej wartość z dokładnością miliona miejsc po przecinku.

Tę tajemniczą liczbę matematycy odkryli dopiero w XVI wieku. Nazwali ją liczbą „e”. Oczywiście, mijałoby sie z celem czynienie w tej chwili wywodu o jej fundamentalnym znaczeniu dla rozwoju rachunku różniczkowego. Dociekliwych odsyłam do podręczników. Za to warto mieć świadomość, że w matematyce zrobiła oszałamiajacą karierę i wcale niemniejszą, jak jej starsza siostrzyca – Pi. Obie liczby są niewymierne, obie niezbędne dla domorosłego matematyka, ale także (a może: przede wszystkim) dla naukowych snajperów. Jednak, w przeciwieństwie do Pi, z której walorów potrafi korzystać nawet uczniak podstawówki, „e” jest dla bardziej doświadczonych mistrzów. Jej zastosowania bywają za to ciekawsze. O jednym z nich opowiedziałem wyżej. Pora na kolejne. Uwaga! – Będzie coś dla melomanów…

Każdy meloman to człowiek, który posiada w zasobach niezliczone nagrania swych ulubieńców i pupilów. Ale zawsze nadchodzi chwila, gdy prześwietną kolekcję chce powiększyć o coś równie godnego. Ba! Na co się zdecydować? – Półki muzycznych butików uginają się pod ciężarem nowalijek. Każda nęci i kusi. Jak wybrać? Przecież wszystkich odsłuchać się nie da. Nie da się więc rozsądnie wybrać. Trzeba na chybił trafił…

A może się jednak da? Drogi melomanie – tajemnicza liczba „e” oto nadchodzi ci z pomocą! Nie będę zanudzał cię, mój drogi, żmudnymi obliczeniami, przekształceniami, wywodami. Te – możesz odszukać w literaturze fachowej. Przejdę od razu do rzeczy. Zrób tak: oszacuj, ile nowalijek jesteś w stanie odsłuchać (na przykład: sześć). Pomnóż tę liczbę przez „e” (6 * e = ok. 16). Z tylu, w rzeczywistości, nagrań liczba „e” pomoże Ci wskazać najlepsze. Wylosuj z nich (tych szesnastu) swą oszacowaną liczbę nagrań (sześć). Odsłuchaj je uważnie. Wybierz kolejne nagranie i także odsłuchaj. Jeśli uznasz, że jest lepsze od pierwszych (sześciu) – to oto własnie znalazłeś swego nowego, białego kruka. Jeśli gorsze – wybierz losowo kolejne. Aż będzie lepsze od początkowych (sześciu). Reasumując: miast słuchać szesnastu nagrań wysłuchałeś ledwie sześć (no dobra: 7, może i osiem) – i wystarczyło, by z naukową precyzją dokonać absolutnie racjonalnego wyboru.

No tak! – już słyszę krytykę, – a skąd mam wiedzieć, czy to najlepsze nagranie? A może w tych, których nie słuchałem było jeszcze lepsze? Drogi malkontencie… Masz rację. Tego i ja nie wiem. Za to wiem, że gdy w jakimś losowaniu, na przykład, co trzeci los wygrywa – kupuję trzy losy. Nie daje mi to nadal żadnej gwarancji na wygraną, ale, chyba zgodzisz się ze mną? – szansę na wygraną racjonalnie zwiększa i optymalizuje.

Skoro melomani dostali, na co czekali – pora na pozostałych. Hej! Imprezowicze – teraz będzie coś dla was. Wiem, ze lubicie jeździć na wielodniowe wypady, podczas których „polujecie” na jakąś fajną laskę, vel ciacho, z którymi dobrze byłoby potem zainteresować się na dłużej. Od dziś będziecie robili to naukowo. A jak było dotychczas? Ano pan Mietek (czy jakaś tam Pani Lusia) co wieczór adorowali kolejną / kolejnego nieboraka. Zbliżał się koniec turnusu i pan Mietek (vel: pani Lusia) poznawszy kilkanaście osób, mieli taki mętlik w głowie, ze w żaden sposób nie potrafili dokonać fajnego wyboru. I z imprezowiska wracali z niczym. Nie wyrwali żadnej laski/ciacha… Kochani, teraz będzie inaczej! Teraz pomoże wam liczba „e”.

Podobnie jak melomani skupcie się na losowo poznanych pierwszych, np.: sześciu osobach. (Zakładam, ze jak u melomanów turnus trwać będzie 6 * e dni, tj. jakieś pół miesiąca) . Poznajcie ich walory, przeanalizujcie mankamenty. Potem „zbadajcie” siódmą wybrankę. Jeśli będzie bardziej atrakcyjna od walorów pierwszej szóstki – to oto macie swego białego kruka! Jeśli nie – poznajcie kolejną. Tak czy siak – szansa na prawidłowy wybór będzie większa, bo zoptymalizowana i uprawomocniona naukowo…

Jasne! wiem – teraz mi się oberwie za igranie sobie z uczuciami, za namawianie do zimnych kalkulacji, a nawet demoralizację…Ech! Szkoda gadać.

Kochani! a kto powiedział, że ja do czegokolwiek namawiam? Ja tylko opowiadając o tajemnicach liczby „e” uprawiam matematykę. A ona kompletnie nie wie, co to moralność i porywy serca. Choć mogłaby je bardzo precyzyjnie oszacować i nawet policzyć. Ale to już temat na zupełnie inną powiastkę.